# 《模型思考者》13：十八般兵器和举一反三

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咱们继续讲斯科特·佩奇的《模型思考者》。佩奇的书中总共有大约40个数学模型，我们解读了十几个。你可能觉得讲这么多根本记不住，也可能觉得只学这些还不够用。

如果你是要搞研究，学再多也不够用。每一个新的课题都可能需要一个新的模型，你必须自己设计模型。如果你能发现一个像马尔可夫过程那样有广泛应用的模型，你会非常有成就感；如果你能发明一个像索洛模型那样号称解决了大问题又能被人广泛接受的模型，你也可以得诺贝尔奖。

可是普通人能从模型思维里学到什么呢？

首先你学会了一些模型。我们讲过的这十几个模型，都是比较经典、而且可以用到的。它们就好像是思维套路，寓言故事和成语典故一样。我认为正态分布、随机行走、传染和扩散，这些思想比什么“亡羊补牢”、“围魏救赵”更有用。

其次你学会了比传统思维套路先进的思考方式。哪怕稍微用一点点数学推演，你的思考马上就能变得生动活泼起来。稍微考虑一点点量化的边界，你就能知道应该重视什么忽略什么。

而想要取得更大的学习成就，你还需要掌握两个更高层次的思维模式 —— 一个是“一对多”，一个是“多对一”。

所谓一对多，就是要举一反三，能把一个模型用于很多看似非常不一样的场景。所谓多对一，就是十八般兵器一起上，用多个模型分析一个问题。

最后这几讲，咱们体会一下这两种高级用法。

## 1.幂律的运用

咱们先说一个特别简单的数学方法，看你怎么举一反三。普通人观察世界，比如到国外旅游，最容易看到的是别人跟我们的不同点；而高手则要能看出那些看似非常不同的事物之间的共同点。他有千般变化，你有火眼金睛，这就叫洞见本质，这就叫类比，这就叫举一反三。

比如你看下面这三个问题，有什么共同点 ——

1.为什么装石油的货轮都是越大越好呢？

2.医疗保健界总是用“身体重量指数（BMI）”衡量一个人的体重是否超标，BMI 是个合理的指标吗？

3.为什么各大公司的 CEO 中，女性所占的比例这么少呢？

表面上看这是一个工程问题、一个医学问题和一个社会问题，但其实它们都是数学问题。你只需要一个数学知识 —— 幂律，也即是 X^N，就能对这三个问题提出关键性的洞见。

先说货轮。我们不需要知道轮船的技术细节，你可以简单地把轮船想象成一个长方体。制造一艘轮船，造的是船的底部和四周的船帮 —— 这个制造成本，和长方体的表面积成正比。如果货轮的尺度是 L，那么造价就正比于L^2。同样地，驱动轮船在水上走，要克服的那个水面的拖曳力，主要是跟轮船的吃水面积成正比，也是正比于 L^2。两项加起来，这也就是说，购买和使用一个货轮的成本，正比于 L^2。

而货轮的使用价值，是它能装多少东西，这个是跟货轮的体积成正比，也就是正比于 L^3。

由此我们得出，货轮的性价比 = 使用价值/成本，是正比于 L 的。尺度越大，性价比就越高，运送单位货物反而越便宜，这就是为什么货轮越大越好。现在一个国际货轮的长度可以有四五百米……如果不是因为巴拿马运河过于窄小，通行受到限制，货轮还可以再大一点。

你看，我们对造船知识一无所知，但只要你知道什么是面积、什么是体积，你就能推算出来货轮应该越大越好这个战略着眼点。当然也许具体实施的时候会有一些技术困难，但是你这个洞见，是不可能被忽略的 [1]。

第二个问题，为什么 BMI 不是一个合理的指标。一般说法是如果你的 BMI 大于25，你就超重了 — 可是有研究发现，那些用 BMI 判断为稍微超重的人，寿命反而更长。那难道说我们应该把 BMI 的合格线从 25 提高到比如说 28 吗？不是的。

BMI = 体重 / 身高的平方。我们用 H 表示身高，按比例来说，人的体积应该跟 H^3 成正比。再假设身体的密度是 M，那么体重就应该是跟 H³M 成正比，所以 BMI 就是 H³M/H²，跟 HM 成正比。

这也就是说，哪怕全都是身材特别标准、特别正常的人，也是身高越高、身体密度越高，他的 BMI 就越高 —— BMI 高估了高个子的肥胖程度。而且因为肌肉的密度要高于脂肪的密度，如果一个人经常健身，体脂率比较低肌肉比较发达，他的 BMI 也会上去。这不是调整合格线的问题 —— 现有的 25 这个合格线可能很适合普通身高、普通体脂率的人，但是不适合那些特别高或者特别矮，以及体脂率特别低的人。事实上有人统计过 NBA 球星，每个人的 BMI 都是超标的，难道说这些人还不够健康吗？

然后我们再看看为什么女 CEO 这么少。财富500强的公司里，只有不到5%的 CEO 是女性；而美国大学的校长，却有25%是女性。这个对比说明什么呢？是不是商业界对女性领导的歧视已经到了令人发指的程度呢？是不是商业界比学术界更歧视女性呢？是不是女性更适合在学术界发展呢？也许根本不是。

每个人初入职场的时候都是最普通的员工，而要从一个普通员工成长为 CEO，你必须经过很多次的提拔。今年升一级明年升一级，提拔几次才当上了组长；再过几年是经理，再往上是主任……再过上若干年才可能成为 VP，就这样距离 CEO 仍然很远。我们假设一个人要从基层奋斗到 CEO，必须在30年之内经历15次提拔，咱们看看这是一个什么游戏。

男性对工作的投入度，可能会稍微比女性高那么一点点。这绝不是说歧视女性，不是女性能力不行，而是女性的人生追求更全面，比较注重工作和生活的平衡 [2]。那么我们假设，面对每一次提拔的机会，男性被提拔成功的概率 p=50%，而女性是 p=40%。如果一个公司在男女员工人数一样多的情况下，每提拔 5 个男性就会同时提拔 4 个女性，这应该不算太过分吧？

在这个简单模型中，一个人经历 15 次成功提拔成为 CEO 的概率，是 p^15。而你这么一算，虽然 50% 只是 40% 的 1.25 倍，15 次方之后，男性变成 CEO 的概率就是女性的 28 倍！

所以女性 CEO 那么少的最重要原因并不是因为男性受到太多的优待，而是因为层级太多！可能一个人的运气只比另一个人好一点点，经过很多层级之后，两人的差距就会很大。

那为什么女性当大学校长比较容易呢？因为层级少。从教授到校长只有三步：系主任、院长、校长。如果你取胜的概率比对手低，哪怕只低一点点，你也不希望比赛进行很多轮。

在这几个问题中我们没有使用什么精确的数学，我们仅仅用了 X^N 这一个算式，就推导出来这些道理。而没有这个算式，你就只能感慨人生。

## 2.一个事件多个模型

一个模型能解释多个事件，而生活中有些事件，需要调用多个模型才能得到很好的解释，做出正确判断。我们前面讲过，所谓智慧，就是你知道该使用哪个模型 —— 而这一切的前提是你得多知道几个模型才行。

2018年10月，冰岛克朗突然开始大幅度贬值，这就给当时甲骨文公司的财务官出了一个难题。甲骨文公司在海外有数十亿美元的资产，他必须考虑冰岛克朗贬值的金融风险。他考虑了两个模型。

一个是金融网络的传染模型。国际金融网络的联系很紧密，克朗贬值会不会让其他货币也跟着一起相对于美元贬值呢？公司是不是应该赶紧把海外资产换成美元呢？

财务官考虑的另一个模型是经济学中的供给和需求。这个简单模型说如果想要让市场上的价格发生剧烈变动，供给或者需求必须得有显著变化才行。冰岛，是一个只有30万人口的小国，GDP 才120亿美元，连麦当劳半年的营业额都不到。考虑到这一点，冰岛货币贬值能对全球金融有大影响呢？

财务官决定不采取行动，结果他赌对了。所以有些听风就是雨的人缺少的不是定力，而是知识和判断力。你只知道这个因素有影响还不行，你还得知道别的因素有什么影响，你还得能正确评估每个因素影响的大小，才行。

特别是要做预测的时候，我们往往需要用不同视角下的多个模型分别做预测，然后对它们的预测结果取一个平均值。佩奇在《多样性红利》这本书中专门说过这个道理 [3]，多样性能减少预测的标准差，这可是佩奇的招牌工作。

模型都只是对真实世界的某种简化，在本质上每个模型都是错的。就拿2008年金融危机来说，我那以后读的每一本稍微沾点边的书都要分析一下这场危机是怎么发生的，他们的说法各不相同，那到底哪个对呢？有个经济学家考察了21个解释这次金融危机的模型，他的结论是其中没有一个完全符合当时的真实情况：每一个模型都有漏洞。也许你只有等到将来，从多个角度综合理解这场危机 —— 也许世界上有些事儿就是实在过于复杂，以至于根本就不可能让人理解。

总结来说，当你预测一件事的时候，你希望模型越复杂越好；当你要解释一件事的时候，你希望模型越简单越好。你需要用很多模型一起去解释和预测一个复杂的事情，你还需要用一个模型解释很多很不一样的事情。

你既需要掌握很多知识，又需要灵活运用这些知识的能力，你得会十八般兵器还得会举一反三……要不怎么有用的学问难做、真知灼见难得呢。

这个系列的最后两讲，我们演练一下怎么用多个模型分析一个问题。

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