# 丑小鸭定理

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不要被今天的标题所吓倒！我今天要讲的这个道理，你应该早就有一点意识和印象了，但是你可能没想到它有这么强，你可能不知道它是一个数学定理。这是一个1969年才出现的定理。了解这个思想，你将会变成一个更开朗的人。

这个定理就叫做“丑小鸭定理”。简单的说，就是你认为是一只丑小鸭跟一只天鹅之间的区别大，还是两只天鹅之间的区别大？

直观的答案肯定是丑小鸭跟天鹅的区别大。两只天鹅毕竟都是……天鹅，肯定长得像，丑小鸭跟天鹅那是很不一样。

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可是你这么说是只考虑了它们的外形。我还可以从别的方面比较。比如咱们可以比 DNA。假设丑小鸭是这两只天鹅生的女儿。两只天鹅是夫妻，它们的 DNA 并不相似。而丑小鸭的 DNA 有一半来自她的父亲，一半来自她的母亲。所以要是看 DNA 的话，那么丑小鸭跟其中任何一只天鹅相似度，都远远高于这两只天鹅之间的相似度。

这个道理是要比较相似度，首先你得看看比的标准是什么。可是我们能想象的标准可能有无穷多个，这没有办法计数啊？所以我们需要一个数学的洞见。

（如果你对数学不感兴趣，可以直接跳到第一小节的结论。）

## 1.定理

这个洞见就是，所谓这两个东西“相似”，就是在给所有东西分类的时候，这两个东西能被分在同一个类里面。在各自不同的分类之中，它们两个被分到一起的次数，就是相似度的大小。

咱们还是用丑小鸭和天鹅的例子。我们把这三只鸟排成一排，分别是天鹅A、天鹅B和丑小鸭。我们来看看对这三只鸟有多少种分类方法。具体做法是我们选择一个属性，符合这个属性的就算是一类，不符合的就不算。

比如说，我们选择的属性是“白色”，那么因为两只天鹅是白色，丑小鸭是灰色的，所以根据这个属性，两只天鹅就被选中，而丑小鸭不在这一类。这个分类结果可以用（110）表示 —— 对应三只鸟的位置，1 代表你在这个分类里，0 代表你不在这个分类里。

而如果我选择的属性是“排第一名”，那就只有天鹅A在这个分类里面，分类结果就是（100）。

如果属性是“不是白色”，那就两只天鹅都不算，只有丑小鸭在这个分类里面，结果就是（001）。

如果属性是“白色，但是不排第一名”，结果就是（010）。

以此类推。你会发现，对下面图中表示的八种分类方法，你其实都能找到一个对应的“属性” —— 

![左边是分类结果，最右边是分类标准，也就是事先选择的“属性”，中间是这个分类标准的数学形式。](https://piccdn3.umiwi.com/img/201803/16/201803161913236781997066.jpg)

而且对于三个物体，一共也就只有这8种分类方式。那怎么定义相似度呢？就是看这8种分类之中，有多少种，这两个物体被分到了同一类。比如说天鹅A和丑小鸭，就在（101）、（111）、（000）、（010）这四个分类中属于同一类，那么我们就可以说天鹅A和丑小鸭的相似度 = 4。同样道理，天鹅B和丑小鸭的相似度也是4。而天鹅A和天鹅B 的相似度？它们同类的分组是（110）、（111）、（000）、（001），也是4。

也就是说，丑小鸭和天鹅之间的相似度，和两只天鹅之间的相似度，是一样的。这就是“丑小鸭定理”。

一般来说，如果有 N 个物体，那么你就一共有2的 N 次方种不同的分类方法，而结果还是这样，各个物体之间的相似度是一样的。

换一个说法，丑小鸭定理也可以表述成：“丑小鸭跟天鹅之间的差异，和两只天鹅之间的差异一样大。”

## 2.没有“客观”的分类

丑小鸭定理是1969年由美籍日本人渡边慧证明的。当初提出这个定理是计算机模式识别的要求。

比如说，咱们现在有一大堆东西，那你能不能给计算机一个任务，让它自动地、客观地把这些东西给分个类呢？丑小鸭定理说，这是不可能的，因为你没给分类标准。

比如说把一群人分类，你是按身高分、按肤色分、按学历分，还是按 DNA 的相似程度分？你必须先主观地给计算机一个标准，它才能进行分类。如果没有主观标准，那根据丑小鸭定理，这些人中任意两个人的相似程度都是一样大，不管怎么分都可以。

这就是“种族不存在”这个说法的最深刻含义。你非得把人按照种族分，你这是一种主观的、偏见的分法！每个人都有各种属性，凭什么非得看种族呢？是从这个意义上说，种族不存在。

但是这个批评也适用于所有的分类。按种族分不合理，难道按学历分、按性别把人分类就合理吗？如果你一定要说“种族不存在”，你也应该说性别和学历不存在。

这个道理是根本不存在完全客观的分类。每一种分类都是主观的 —— 换句话说，每一种分类都是有偏见的。是你先“偏见”这个属性最重要，你才会根据这个属性去分类。

这个思想的应用，何止是计算机模式识别！我们仔细想想，这其实是一个有“佛性”的定理。

## 3.一点人生哲学

以前我们讲《为什么佛学是真的》的时候，有一期叫《因缘动力学》，其中提到了“视角”这个概念。每个人观察世界都是带着一个主观的视角去看。我们把东西分成“好”和“坏”，这其实就是“对我好不好”这个偏见视角之下的一个分类。

而现在丑小鸭定理则告诉我们，不管你是不是从“我”的视角出发，只要你分类，你就是有偏见的。

完全客观、不偏见、不歧视，那是不可能的。

那我们应该怎么面对这个世界呢？我觉得大概有这么三点。

第一，你可以随时跳出“默认分类”。

以前中国的社会习俗，陌生人见面一上来就先问问“你是哪的人”，老乡跟老乡特别亲，把人按籍贯分类。我们知道了丑小鸭定理，就知道这个分类方法并不是天经地义的。为什么不按照懂数学和不懂数学来分呢？为什么不按照打篮球的和不打篮球的来分呢？

每一只被人歧视过的丑小鸭都应该想想这个定理！你完全可以跟天鹅分在同一类。

第二，任何一个事物，都没有什么“本质的属性”。

比如这有个金元宝，一般人的第一反应肯定是这是个宝贝 —— 

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但“宝贝”是金元宝的本质属性吗？它同时还是一个金属，它还是一个文物，它比较坚硬可以用来砸核桃，你凭什么就非得把它看成是一个宝物呢？

人也是这样。每个人都有很多很多的属性，相当于是“标签”，而没有哪个标签能代表这个人的本质。

比如霍金，你说霍金的本质是什么？是一个物理学家吗？但他同时也是一个男人，很喜欢女性；他是一个父亲，有三个孩子；他还是一个明星，经常发表各种言论；他还是个特别有趣的人，喜欢讲笑话；当然他还是个残疾人。这几天赶上霍金去世，很多人用各种方法、从各个角度缅怀他，而我们不能说哪个角度就不对。

只要你开口说霍金，你就已经对他有偏见了。

第三，没有好处就别分类。

没有客观的分类，不等于说我们从此就不能分类了，也不等于我们必须看所有东西都一视同仁。把东西分类是一种方便的认知，我们完全可以随时根据当时的用途和价值观来给东西分类。

比如说，如果让小孩给动物分类，他们可能分成天上飞的、地上走的、水里游的。这种分类方法有利于儿童了解动物的活动范围。如果你让一个动物学家来分类，他可能更愿意把它分成哺乳动物类和爬行类等等，那么鲸鱼在他眼里就不是一个在水里游的动物，而是一个哺乳动物。如果让商人分类，他首先想的是经济价值，哪个动物能帮他挣钱。让博物学家分类，他可能最关注的是这个动物的稀有程度。

**你得先想到一个价值，分类才是值得的。那如果没有价值，只是随便分类，就很有可能限制自己的认知，还可能无形地伤害别人。**

比如我们中国以前用人，有一个填表的项目是“籍贯”，这在我看来就没什么太大意义。每个地区都有很多很多人，籍贯并不能让你更了解一个人，更何况他长大的地方不一定是他出生的地方，更不一定是他祖上居住的地方。问籍贯，除了让某些对地域特别敏感的人感到难受之外，有什么好处呢？

如果没有好处，就不要轻易给人贴标签。如果有人非得贴标签，我们就得小心，他到底想干什么。

丑小鸭和天鹅没有本质区别。多想想这个定理，你可能会变成一个心胸更宽广的人。

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