# 相对论番外篇：双生子佯谬详解

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今天咱们专门用一讲来把“双生子佯谬”给彻底解释清楚，这个内容不影响你理解相对论的大局。我们不会用到什么特别的数学，但是推导过程有点烧脑，所以这一讲是专门献给爱钻研的读者。这期内容不适合用音频讲，它需要你通过看文稿学习，甚至如果你能准备纸笔，边画图边理解，你肯定能搞懂它。

“双生子佯谬”这个词是如此的熟悉却又如此的没有讲清楚。有些民间科学家认为双生子佯谬说明相对论是错的，有人认为必须学会广义相对论才能理解双生子佯谬，还有的是用到“闵可夫斯基空间”里的“世界线”来解释。

其实双生子佯谬一点都不神秘，在相对论的教科书里是常规的项目。我们这里讲一个最直观的解释 [1]。

我们将会看到，双生子佯谬的确会涉及到一点广义相对论，但是它本质上是个狭义相对论的效应。

咱们先稍微做一点准备。

## 1.基础准备

我们要用到相对论的三个效应 —— 

1. 运动的物体的时间会变慢；

2. 运动的物体的长度会收缩；

3. “同时”是相对的。

然后我还想再次强调一下“事件”这个概念。所谓事件，就是在一个特定的时间和地点发生的事情，它是一个非常本地化的东西。

比如咱俩面对面相聚在一个地方，这就是一个事件。事件是实实在在发生的，它是绝对的，不是相对的。

哪怕咱俩是高速擦肩而过，只要在某个时刻、咱俩的距离曾经非常近，那就可以迅速打个照面，那就构成了一个事件。在这个事件里你看我是多少岁、我看你是多少岁，都是清清楚楚的。不管是谁、在哪个坐标系里看这个事件里的咱俩，谁更年轻谁更老都是一目了然，没有任何异议。

但是，如果在这个相遇事件中，你告诉我你有一个兄弟在5光年以外的一个星球上工作，你告诉我你兄弟现在多少岁，那我可就不一定认同你的观点了。我跟你构成一个事件，因为你就在我身边。我跟你兄弟，可不算构成事件。

你说你兄弟今年30岁，那是在你的坐标系里你的看法。如果我跟你有个相对运动，也许在我眼里他现在就不是30岁 —— 因为你的“现在”，不等于我的“现在”。“现在”是个幻觉，“同时”是相对的。

好，有了这些理论准备，我们就可以仔细考察双生子佯谬。

为了把这个事儿彻底说明白，咱们假定有兄妹三人，是个三胞胎。妹妹一直待在地球上。哥哥坐着宇宙飞船从地球出发前往A星球，再从A星球回到地球。姐姐则一直待在A星球。

我们假设地球和A星球之间没有相对的运动，也就是说，A星球对地球来说只不过就是个比较远的地方而已。那么我们就可以建立一个让地球和A星球都静止的坐标系，那么显然在这个坐标系里妹妹和姐姐也是静止的 —— 她们可以在这个坐标系里“同时”成长，年龄总是一样。

我们设定在这个相对于妹妹静止的坐标系里，地球到A星球的距离是20光年，哥哥的飞船的速度是0.8c。为了尽可能地去除广义相对论效应，我们设定哥哥一直保持高速，他加速和减速都不需要花时间。

好，现在我们定义三个事件：

*** 事件1：哥哥和妹妹在地球告别；**

*** 事件2：哥哥到达A星球和姐姐见面；**

*** 事件3：哥哥回到地球和妹妹见面。**

如果双生子佯谬没毛病，相对论没问题，那么这三个事件的当事人的年龄，就应该与兄妹二人所在的坐标系无关。

现在我们就考察一下两个坐标系中这三个事件发生时当事人的年龄。

## 2.妹妹的坐标系

在妹妹的坐标系下，她和姐姐是静止不动的，哥哥在做运动。地球到A星球这段距离是20光年，哥哥的速度是0.8c。

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事件1发生的时候，哥哥和妹妹在一起，而姐姐又跟妹妹在同一个坐标系里互相静止，所以兄妹三人的年龄是一样的，简单起见我们干脆设定这时候他们都是0岁。

在妹妹看来，哥哥要飞行25年才能到达A星球。所以事件2发生的时候妹妹和姐姐应该都是25岁。但是，因为哥哥是在高速运动，他相对于妹妹的坐标系有个时间变慢的效应，所以他这时候应该只有15岁 [2]。

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所以哥哥和姐姐一见面，他已经比姐姐年轻了10岁！那你可能会说，为什么是哥哥比姐姐年轻？难道相对于哥哥，姐姐不也在做高速运动吗？这个问题咱们等会儿再说，因为那是哥哥的坐标系里的事情！

等到事件3，这个妹妹的坐标系下，哥哥又要飞25年才能回到地球，所以这时候妹妹已经50岁了。而因为哥哥是高速运动的，他又有一个时间变慢的效应，所以哥哥飞行这段距离还是只花了15年。哥哥这时候，是30岁。

哥哥飞了一圈，妹妹原地不动，结果哥哥比妹妹年轻了20年。

人们对双生子佯谬的全部质疑，就是在哥哥不动的坐标系里，妹妹不也相当于飞了一圈吗？为什么不是妹妹年轻呢？

## 3.哥哥的坐标系

在相对于哥哥静止的坐标系下看，是哥哥的飞船静止不动，妹妹和从地球到A星球这段距离在以0.8c的速度运动。那么既然这段距离是在运动，它就有一个相对论长度收缩的效应，所以在哥哥的眼中，地球到A星球的距离就不是20光年了，而是12光年。

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事件1发生的时候，哥哥和妹妹在一起，他们都是0岁。但是，请注意，在哥哥的坐标系里，远在A星球的姐姐，可不是0岁。

这是因为“同时”是相对的！妹妹坐标系中妹妹和姐姐同时长大，但是在哥哥坐标系里，姐姐会比妹妹先长大！在哥哥眼中，在发生事件1的时候，姐姐不是0岁，而是16岁。这个16岁可不是我凭空给出的，这里有一个计算公式：Lv/c²，其中 v=0.8，L=20 [3]。

从事件1到事件2，哥哥看到的是12光年的距离以0.8c的速度运动，应该用15年。所以事件2发生的时候，哥哥是15岁。

而既然现在是姐姐在高速运动，所以姐姐的时间要变慢，姐姐可没有用15年 —— 她只用了9年！所以事件2发生的时候，姐姐是16+9=25岁。妹妹也用了9年，妹妹是9岁。

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这就解决了前面说的矛盾。是，哥哥的坐标系里是姐姐的时间慢 —— 但是，姐姐的起步晚！所以还是哥哥比姐姐年轻！根本原因在于“同时”是相对的。不过，此时哥哥眼中，妹妹的确比哥哥年轻，只有9岁。

接下来，哥哥要调头飞回地球。这里有个关键问题。

哥哥调头的过程中，他的坐标系会发生一个变化。调头之前，是地球-A星球相对于哥哥从右往左飞；调头之后，是地球-A星球相对于哥哥从左往右飞。那也就是说，一旦调了头转换了坐标系，在哥哥的眼中，再看妹妹就好像事件1的时候看姐姐一样，是远方的妹妹比眼前的姐姐大16岁。

既然姐姐是25岁，妹妹就应该是25+16=41岁。

从事件2到事件3，哥哥还是需要15年的时间，变成30岁。而高速运动的妹妹只需要花9年的时间，变成41+9=50岁。

***


我们看看这三个事件，不管是在妹妹还是哥哥的坐标系看，当事的两个人的年龄都是一样的 —— 

* 事件1：哥哥0岁，妹妹0岁；

* 事件2：哥哥15岁，姐姐25岁；

* 事件3：哥哥30岁，妹妹50岁。

区别在于不在场的第三人的年龄 —— 

* 事件1：妹妹坐标系中姐姐是0岁，哥哥坐标系中姐姐是16岁；

* 事件2：妹妹坐标系中妹妹是25岁，哥哥坐标系中妹妹是9岁；

* 事件3：妹妹坐标系中姐姐是50岁，哥哥坐标系中姐姐是25+9=34岁。

在场的人构成*事件*，年龄都能对上；而不在场的人的年龄，因为“同时”是相对的，只能算*观点*。其实有关相对论的各种所谓的悖论，几乎都是因为同时是相对的。

为什么是哥哥比妹妹年轻，而不是妹妹比哥哥年轻？因为哥哥和妹妹的经历并不是等价的。妹妹一直都在做同一个匀速直线运动，而哥哥经历了两个不同方向的匀速直线运动。为此哥哥必须在A星球减速、调头、再加速，这种经历妹妹没有。

我们应该好好体会一下哥哥在A星球的那次调头。调头之前哥哥还以为妹妹比自己年轻。在整个调头过程中哥哥和就在本地的姐姐都没有什么年龄变化，可是调头之后，哥哥再看妹妹，感觉妹妹一下子就老了32岁！

这就是为什么去黑洞执行一次任务，回来就会发现别人都比你老的快 —— 这就暗示了广义相对论。咱们下周再说。

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