# 数学是真实存在的吗？ ![](https://piccdn3.umiwi.com/img/202307/13/202307131219336530068785.jpeg) 弗朗西斯·培根有句名言是这样说的：「上帝从未制造奇迹来说服无神论，上帝平常的工作就足以说服无神论了。」这句话的精神其实不是上帝是否存在，而是你从最平凡的地方，就能看出来这个世界的不平凡之处。现在我们来做一场小小的思维旅行，也许你能从中窥见神秘世界的一角。 想象你身处在一个封闭的房间里，这里只有一张桌子、一把椅子、很多张纸和一支笔。你看不见外面有什么，你不知道这个世界是什么样的。 我要告诉你的是，只需要这点资源，运用思想和逻辑，你就可以知道世界必定是不平凡的。 ✵ 首先你身上并非什么都没有，最起码你有10根手指头。你可以数手指，1根、2根……这就是「自然数」。就算没有手指，你可以通过在纸上画圆圈数着玩来得到自然数。 有了数，就可以做「加法」。1根手指加3根手指，是4根手指。数圆圈也是如此，怎么算都是如此。 把加法做个“逆运算”，就得到了「减法」：4 - 3 = 1。 那既然4减3可以，3减4可不可以呢？直观的看法是小数减大数没意义 —— 但我们可以有一点“推广”精神，我们希望把每一种运算都推广到允许所有的数参加。而要允许3减4，你只需要引入「负数」：3 - 4 = -1。 做了很多加法之后，你意识到同一个数连续相加几次 —— 比如三个4相加 —— 这个过程可以用一个更简化的算式表达，那就是「乘法」：4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12。 既然有乘法，那我们就想给乘法也安排一个“逆运算”，于是就有了除法，12 ÷ 4 = 3。那么4可不可以除以12呢？还是本着刚才说的“推广”精神，只要再引入一种新数 —— 叫做「分数」就可以了。 你看，你从数数开始，只是使用了无比自然的“逆运算”和“推广”这两个思想，再加上合理的逻辑，就已经推导出了分数。这个过程还可以继续进行。 ✵ 把两个相同的数相乘，就是「平方」。再给平方安排一个“逆运算”，就是「开方」。2的平方是4，4的开方是2。 接下来，同样的套路，我们把开方这个运算推广到所有的数上面。2能不能开方？你得到了√2。 √2 是个全新的数。它比1大比2小，显然不是一个整数。如果你足够聪明，你还可以证明它不是一个分数。我们这里没时间细讲，但是那个证明不需要什么额外的信息，使用反证法就可以。 √2，是个「无理数」。无理数的发现在历史上冲击过人们的观念，但√2是个不可缺少的、实实在在的数。你画一个边长是1的正方形，它的对角线的长度就是√2。 我们继续推广。负数，可不可以用来做开方呢？√-1可以吗？这需要再引入一种新数，叫做「虚数」。我们可以用字母 i 代表√-1。 物理学家会发现，有了虚数，电磁学方程会变得非常整齐好看 —— 但是在数学家看来，引入虚数并不是为了给物理学服务，物理的应用只是个意外收获：虚数只不过是我们“推广”精神的产物，是已知数学版图的自然拓展。 而且也不是每一次推广都能引入新的数。比如你可能会想把开方运算用到虚数上，√i 可以吗？可以！但它并不是一种新数，它可以写成一个实数和一个虚数之和，也就是复数 —— ![](https://piccdn2.umiwi.com/uploader/image/ddarticle/2023071312/1813787128157472864/071312.png) 要想继续引入新数，我们需要更高级的推广。 ✵ 观察无理数和虚数的另一个视角是把它们看成某个「方程」的解。方程是个很自然产生的东西，包含未知数的运算就是方程。虚数i，可以视为方程 x² + 1 = 0 的一个解。 下面是一个非常有“推广”精神的问题：所有的数，都是某个方程的解吗？ 这个问题问的不太周到，因为显然所有的数都是“x = 它自己” 这个方程的解！所以咱们加入一个限制：所有的数，都是某个*各项系数都是整数*的方程的解吗？ 比如像 6x³+3x²+2x-1=0 这样的方程，不管有多少项，只要每个系数都是整数就行。你可以想见，整数、分数、无理数、虚数，都是某个这样的方程的解。这样的数，叫做「代数数（algebraic numbers）」。 那有没有一种数，我们知道它存在，同时我们还知道它*不是*这样的一个方程的解呢？ 答案是有的！数学家到了19世纪末才证明，圆周率 π 和自然对数的底数 e，都不是代数数。它们不是任何各项系数是整数的方程的解 —— 这样的数，被称为「超越数（transcendental numbers）」。 下面这张图描写了复数、实数、有理数、整数、代数数之间的关系 [1] —— ![](https://piccdn2.umiwi.com/uploader/image/ddarticle/2023071312/1813787160369727584/071312.png) 图中还有一种数叫「规矩数（constructible lengths）」，意思是只用直尺和圆规作图就能构建出来的长度，比如√2就是个规矩数。19世纪的数学家证明了规矩数必须是某个x的最大指数是2的某个幂的方程的解，从而证明只用尺规不能把任意一个角给三等分……那些咱们不必细说。 现在我们问题又来了：π 和 e 都是超越数，那 π + e 是超越数吗？目前没有人知道。e × π，e的e次方，π的e次方，π的π次方这些数是不是超越数，也没有人知道 [2]。 ✵ 我们从数手指头出发，只用了“逆运算”和“推广”这两招，问了几个人畜无害、非常自然的问题，就得出了超越数这样怪异到连当今最了不起的数学家也没完全搞明白的东西来。我们触摸到了一个必定无比广阔的世界的一角。 你体会一下这个过程。所有这些数都不是从天上掉下来的，不是凭空的想象 [3]。换个聪明的外星人来做，我相信，也会得到同样的结果。 数学，是一种不依赖人的意愿的真实存在。 ✵ 数学世界是真实存在的，这个信念最早是柏拉图提出来的。我很相信这个信念，我可以列举至少四个理由 —— 第一，数学的任何性质都不是你能随便「发明」的，你只能发现。比如说，只要你定义了虚数 i² = -1，那么 i 的其他性质，就是固定的了，谁来算都是一样的。因为你没有选择的自由度，所以这不叫发明，这叫「发现」。 第二，数学大厦里，人们从不同的途径、用不同的方法推导出来的所有理论，都是互相自洽的，没有矛盾。如果张三说这座楼的三楼最左边的房间里有三个窗户，李四却说有四个窗户，我们大概可以猜测那个房间是虚构的 —— 但是所有探索者的发现没有矛盾，那就说明这座楼是真的 [4]。 第三，数学跟物理学有奇妙到不可思议的联系。为什么所有的物理定律都能用精确的数学方程描写，为什么这个宇宙里的事儿如此地符合数学呢？最早问出这个问题的是物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner），我们专栏以前讲泰格马克的《穿越平行宇宙》那本书时专门说过这个道理 [5]。我认为最可能的解释是，我们这个世界其实是数学世界的一个投影。 第四，把数学视为比我们生活的这个世界更真实的存在，其他的事情就变得非常方便：比如你可以把一切运动都视为计算，你也无需纠结“计算机模拟是不是一种真实”之类的问题了 —— 只要是符合数学的就都可以看做是真实的。 你可以说我是一个柏拉图主义者。 ✵ 有很多了不起的学者都是柏拉图主义者。但也有很多哲学家反对柏拉图主义，他们认为数学只是我们*发明*的一种东西，就像中文一样，并不具必然性，数学的有效性只是一个巧合。 反对派的主力叫做「虚构主义」。虚构主义认为数学研究的都是「抽象对象」 —— 比如说数字2 —— 而抽象对象在真实世界里是不存在的，2只存在于人的想象之中。既然2都不存在，又怎么能说数学是真实存在的呢？ 虚构主义者还认为2+3=5也只不过是我们这个世界的一种方言而已，你只要重新定义一组数字，2+3=7也没问题。 在我看来，虚构主义者混淆了「对数字的定义」和「数字本身」。可能有的外星人用3表示五个东西，从而得出2+3=7，这并不能说明数学不一样。如果那个外星人能切实理解我们这里每个符号的意思是什么，他一定会得到跟我们同样的结论，否则就是不合逻辑的。 而你要是连逻辑都不认，那你谈论哲学还有什么意义？ 哲学家维特根斯坦早年也是跟我一样的看法，认为数学是逻辑的产物，所以必定是真的。但是他晚年产生了新的想法，认为数学不完全是逻辑的，跟人类这个物种在这个世界里的实践活动很有关系，这个应该怎么理解呢？ ✵ 以我有限的认识，维特根斯坦的说法是被后来的一位认知语言学家和哲学家，乔治·拉科夫（George Lakoff）给发扬光大了。拉科夫提出了一个真正值得严肃对待的对数学的真实性的质疑。 2000年，拉科夫和心理学家拉斐尔·努涅斯合著了一本书叫《数学从哪里来》[6]，从认知学的角度，认为数学是人类大脑的产物，跟人的特殊体验有关 —— * 我们发明算术，是因为我们在日常生活中有数一数这里有几个物体的体验； * 几何学中的空间、像直线这样的概念，都是因为生活中本来就有像直线一样的东西； * 集合这个概念是对“容器”的类比：你可以往里装东西； * 无穷和极限这些概念也是你积累什么东西产生的自然延伸…… 这样说来，我们的数学认知不是来自一个什么“客观的”实在，而是我们日常生活的主观体验。 其实我赞成拉科夫这些说法。但你要据此说数学不是客观存在 [7]，那我认为你根本没理解拉科夫。拉科夫这个理论只能说明为什么我们研究*这样的*数学，而不能说明这样的数学不是客观存在。 也许某一个平行宇宙里的智能生物有不同的生活经验，研究的是另外一种数学 —— 比如他们不研究直线，只研究曲线 —— 那没问题，我可以说曲线数学世界和直线数学世界都是客观的存在，因为它们并不矛盾。 维特根斯坦和拉科夫只能说明柏拉图世界比我们想象的可能要大得多，而不能说明柏拉图世界不存在。 ✵ 那你说这些讨论到底有啥意义呢？意义就在于你所知的一切到底是不是幻象。 意识就是一种幻象。连我们生活的世界都可能是计算机模拟出来的。而如果什么都是幻象，「现实」还有底线吗？ 突破一层幻象，你会获得多一层自由，但是你的心里也会更没底。你需要至少有一个不是幻象的东西依托，这样你才能感到踏实。你害怕一觉醒来什么都坍塌了，你需要一条底线。 我认为底线就是数学。 哪怕明天天崩地裂也好，宇宙不存在了也好，圆周率 π 也肯定还是个超越数。数学大厦一块砖都不会少，我们还是可以从一个小黑屋里重新发现它。 ![](https://piccdn2.umiwi.com/uploader/image/ddarticle/2023071312/1813787932390094404/071312.jpeg) 注释 [1] https://www.quantamagazine.org/recounting-the-history-of-maths-transcendental-numbers-20230627/ [2] 不过我们的确知道e的π次方是超越数，参见 [1]。 [3] 我们为了叙事方便，没有推导就直接引入了π和e这两个数，但这两个数也是从最基本的概念推出来的。 [4] 当然根据哥德尔不完备性定理，你不可能用有限的几条假设出发就推出整个数学大厦，你永远可以找到新的假设……但是这恰恰说明了数学版图的广阔性。 [5] 《穿越平行宇宙》2：为什么世界是数学的 [6] George Lakoff and Rafael E. Núñez, Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics Into Being (Basic Books, 2000). [7] https://bigthink.com/13-8/is-math-real-practical-philosophical-implications/ ## 划重点 数学，是一种不依赖人的意愿的真实存在。